त्रिकोणमिति का परिचय [ Introduction of Trigonometry ] [ कक्षा 10, अध्याय 8 ]

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● त्रिकोणमिति गणित की एक अहम शाखा है, जिसके अंतर्गत समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के सम्बन्धों का का अध्ययन किया जाता है।
● अंग्रेजी शब्द 'Trigonometry' की व्युत्पत्ति ग्रीक भाषा के तीन शब्दों से मिलकर हुई है -
'tri' (तीन), 'gon' (भुजा) और 'metron' (माप) अर्थात 'तीन भुजाओं की माप' जोकि एक त्रिभुज होता है।

● प्राचीनकाल में त्रिकोणमिति पर मिस्र और बेबीलोन देशों ने कार्य किया है।
● समकोण त्रिभुज - ऐसा त्रिभुज जिसमें कोई भी एक कोण 90° का हो।
● न्यूनकोण - 90° से कम मान वाले कोण को न्यूनकोण कहते हैं।

Introduction of Trigonometry

● त्रिकोणमितीय अनुपात

sin A = लंब/कर्ण          या     1/cosec A
cos A = आधार/कर्ण     या     1/sec A
tan A = लंब/आधार     या     1/cot A
cosec A = कर्ण/लंब      या    1/sin A
sec A = कर्ण/आधार     या    1/cos A
cot A = आधार/लंब      या    1/tan A

ध्यान दें - cosec A, sec A और cot A के अनुपात क्रमशः sin A, cos A और tan A के व्युत्क्रम (उल्टे) होते हैं।


★ उपरोक्त त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने के लिए एक ट्रिक है परन्तु इसके लिए आपको लंब, आधार और कर्ण को English में याद रखना होगा जोकि ये है
      लंब - Perpendicular (P)
      आधार - Base              (B)
      कर्ण - Hypotenuse    (H)
आपको एक वाक्य याद रखना है -
Pandit Badri Prasad
Har      Har     Bole

अब यदि शब्दों के प्रथम अक्षरों को लिया जाये तो
               PBP 
               HHB
एक अक्षर ऊपर और एक अक्षर नीचे से लेने पर यह इस प्रकार के अनुपात दर्शाता है -
P/H   - sin A
B/H   - cos A
P/B   - tan A

अब इन्ही अनुपातों को उल्टा कर देने पर
H/P   - cosec A
H/B   - sec A
B/P   - cot A
     

● sin और cos में सम्बन्ध -

     tan A = sin A/cos A
     cot A = cos A/sin A

● त्रिकोणमितीय अनुपातों के नाम पूर्ण रूप में -

     sin - sine
     cos - cosine
     tan - tangent
     cosec - cosecant
     sec - secant
     cot - cotangent
● ध्यान रहे कि tan A, tan और A का गुणनफल नहीं है। tan का A से अलग हो जाने पर कोई मान नहीं रहता। इसी प्रकार अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के साथ भी होता है।

● पूर्ण रूप से समरूप त्रिभुजों के त्रिकोणमितीय अनुपातों में कोई अंतर नहीं होता है।
● कोण को दर्शाने के लिए हम English Alphabet के किसी Letter का प्रयोग करते हैं और कभी-कभी ग्रीक अक्षर थीटा का प्रयोग करते हैं।
● किसी भी समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ या उनका अनुपात दिए होने पर हम तीसरी भुजा पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा ज्ञात कर सकते हैं और फिर सभी त्रिकोणमितीय अनुपात भी ज्ञात कर सकते हैं।
● निम्न सारणी त्रिकोणमिति के 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के अनुपातों को दर्शाती है -
         
Trigonometry Table

● किसी समकोण त्रिभुज की कोई एक भुजा और एक न्यूनकोण दिए होने हम अन्य दो भुजाएँ, कोण का त्रिकोणमितीय मान रखकर ज्ञात कर सकते हैं, और फिर सभी त्रिकोणमितीय अनुपात भी ज्ञात कर सकते हैं।
● किसी समकोण त्रिभुज की दो या तीनों भुजाएँ दी होने पर त्रिभुज के कोण ज्ञात किये जा सकते हैं, यदि भुजाओं का अनुपात किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात के बराबर आता है।

● त्रिकोणमितीय प्रश्नों को हल करते समय ध्यान रखें कि सर्वप्रथम अनुपातों को सम्बन्धित सूत्र/अनुपात में परिवर्तित करे ताकि हल करने में आसानी हो जाए।

● पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

          sin (90°-A) = cos A
          cos (90°-A) = sin A
          tan (90°-A) = cot A
          cot (90°-A) = tan A
          cosec (90°-A) = sec A
          sec (90°-A) = cosec A

● त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

        sin2 A + cos2 A = 1
       sec2 A + tan2 A = 1
      cosec2 A - cot2 A = 1
● कोई भी त्रिकोणमितीय अनुपात दिया होने पर हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सहायता से अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।
● त्रिकोणमितीय प्रश्नों को हल करते समय यदि किसी किसी प्रश्न या उसके हल में कहीं भी कोई सर्वसमिका लागू होती है तो, उसमें सर्वसमिका अवश्य लगाएँ।
● यदि त्रिकोणमिति के किसी प्रश्न में दो पक्षों को सत्यापित करने के लिए कहा जाए तो पहले बड़े पक्ष को हल करें और छोटे पक्ष के बराबर लाने का प्रयत्न करें। यदि पक्ष बराबर नहीं आते तो बड़े पक्ष को अधिकतम सीमा तक सरल करने के बाद छोटे पक्ष को भी सरल करें, आपका उत्तर अवश्य सही होगा।
● दाएँ पक्ष के किसी धनात्मक पद को बाईं तरफ विस्थापित करने पर उसका चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है। विलोमशः भी सत्य है।

● sin A और cos A का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता, जबकि sec A और cosec A का मान हमेशा 1 या उससे अधिक ही होता है।

All Mathematics Chapters Notes for 10th standard :-

अध्याय - 1 वास्तविक संख्याए
अध्याय  2  बहुपद
अध्याय  3  दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
अध्याय  4  द्विघात समीकरण
अध्याय  5  समांतर श्रेढ़ी
अध्याय  6  त्रिभुज
अध्याय  7  निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय  8  त्रिकोणमिति का परिचय
अध्याय  9  त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
अध्याय  10  वृत्त
अध्याय  11  रचनाएँ
अध्याय  12  वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
अध्याय  13  पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
अध्याय  14  सांख्यिकी
अध्याय  15  प्रायिकता


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